Цілі числа: визначення, властивості та приклади застосування

Пам’ятаєте той день у школі, коли вчитель вперше сказав, що існують числа менші за нуль? Багато хто з нас здивувався: “Як це можливо? Як мати менше, ніж нічого?” Саме тоді ми познайомились із захопливим світом цілих чисел, які оточують нас щодня — від температури повітря до балансу на банківській картці.

Що таке цілі числа

Цілі числа — це множина, що складається з натуральних чисел (1, 2, 3…), їх від’ємних відповідників (-1, -2, -3…) та нуля. У математиці цю множину позначають літерою Z, що походить від німецького слова “Zahlen” (числа).

Цілі числа мають три основні складові:

• Натуральні числа — всі додатні числа, які ми використовуємо для лічби (1, 2, 3, 4…)
• Від’ємні числа — числа менші за нуль (-1, -2, -3, -4…)
• Нуль — число, що позначає відсутність кількості

Думайте про цілі числа як про повну сім’ю: додатні числа — старші брати й сестри, від’ємні — молодші, а нуль — це дитина посередині, яка об’єднує всіх.

Класифікація цілих чисел

Цілі додатні числа включають всі числа більші за нуль. Це числа, які ми використовуємо для підрахунку предметів. Наприклад, кількість яблук у кошику (3 яблука), кількість сторінок у книзі (300 сторінок).

Цілі від’ємні числа — це числа менші за нуль. Ви стикаєтесь з ними, коли говорите про температуру взимку (-10 градусів), борг (-200 гривень на рахунку) або глибину під рівнем моря (-50 метрів).

Нуль стоїть окремо, він не додатний і не від’ємний. Це як межа між двома світами. Коли в холодильнику закінчилось молоко, у вас 0 пакетів. Коли всі пасажири вийшли з автобуса, в ньому 0 людей.

Властивості цілих чисел

Цілі числа мають важливі властивості, які роблять їх особливими:

Додавання

• Коли ви додаєте два цілих числа, результат завжди ціле число. 5 + 3 = 8, (-7) + 2 = -5.
• Додавання комутативне: від зміни місць доданків сума не змінюється. 4 + 7 = 7 + 4.
• Додавання асоціативне: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).

Віднімання

• Віднімання — це додавання протилежного числа. 8 – 3 = 8 + (-3) = 5.
• Кожне число має протилежне: -5 — протилежне до 5, а 5 — протилежне до -5.

Множення

• Множення двох цілих чисел дає ціле число.
• Множення на додатне число збільшує, на від’ємне — змінює знак та величину.
• Цікаво, що від’ємне × від’ємне = додатне: (-3) × (-4) = 12.

Цілі числа на координатній прямій

Уявіть довгу пряму лінію, що тягнеться в обидва боки. Посередині стоїть нуль. Праворуч від нуля розташовані всі додатні числа, ліворуч — всі від’ємні.

Це схоже на термометр, де нуль — це точка замерзання води. Додатні числа показують теплу температуру, від’ємні — холодну.

Якщо ви зробите крок праворуч від нуля — потрапите на число 1. Ще крок — і ви на числі 2. Крок ліворуч від нуля — і ви на -1. Ще крок — на -2.

Застосування цілих чисел

Цілі числа ми використовуємо щодня:

• Температура: “Сьогодні -5 градусів за вікном”
• Фінанси: “На моєму рахунку -200 гривень (борг)”
• Висота над рівнем моря: “Цей підвал знаходиться на -2 метрах”
• Історичні дати: “Це сталося у 44 році до нашої ери” (що можна позначити як -44)

У науці цілі числа допомагають описувати різні явища: напрям руху, заряд частинок (додатній чи від’ємний), зміни в системах.

Порівняння з іншими типами чисел

Цілі числа — лише частина великої сім’ї чисел:

• Натуральні числа (N): 1, 2, 3… — лише додатні цілі
• Цілі числа (Z): …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…
• Раціональні числа (Q): включають дроби, наприклад 1/2, 3/4
• Дійсні числа (R): включають ірраціональні числа, як π (пі)

Уявіть числову пряму як дорогу. Цілі числа — це основні зупинки, раціональні — дрібніші зупинки між ними, а дійсні заповнюють всі можливі точки на дорозі.

Цілі числа — це фундамент, на якому будується більша частина математики. Вони дозволяють нам описувати не лише наявність чогось, але й відсутність, нестачу та протилежні стани.

Коли ви наступного разу поглянете на термометр, рахунок футбольного матчу чи свій банківський баланс, згадайте про цілі числа. Вони роблять наш світ більш зрозумілим і вимірним, допомагають бачити не лише “щось”, але й “нічого” та “менше ніж нічого”.

Відкрийте для себе красу й простоту цілих чисел, і математика стане вашим надійним компасом у світі чисел і величин.